Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C_{1}}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Etapa 3.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Etapa 7.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 10

Reescreva a equação.

$d y = (x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Etapa 11

Integre os dois lados.

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Etapa 11.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3

Integre o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{3} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.4

Como $C_{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.3.5.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 11.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.5.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.3.5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 11.3.5.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 11.3.5.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Etapa 11.3.5.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- x} d x$

Etapa 11.3.6

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.3.6.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.3.6.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 11.3.6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 11.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 11.3.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int - e^{u} d u$

Etapa 11.3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Etapa 11.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Etapa 11.3.9

Simplifique.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Etapa 11.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Etapa 11.3.11

Reordene os termos.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C_{2} - x + C_{7}$

Etapa 11.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C - x + D$