Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(y + 2)}^{6}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 2$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 6}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $- 1$ por $y$ em $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Etapa 4.3

Simplifique $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

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Etapa 4.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1.1

Some $- 1$ e $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Etapa 4.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{1}{5}$ por $K$ em $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{1}{5}$ por $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$