Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x + 1$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x + 1$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x + 1 d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int 4 x + 1 d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x y = \int 4 x d x + \int d x$

Etapa 5.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x y = 4 \int x d x + \int d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique.

$x y = 2 x^{2} + x + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x y = 2 x^{2} + x + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $x y = 2 x^{2} + x + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$