Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $1 + y^{2}$ de $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $\sqrt{3}$ por $y$ em $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Etapa 5

Resolva $C$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Etapa 5.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $C$ de dentro da tangente.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Simplifique $| \sec (0) |$ .

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Etapa 5.3.1.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 5.3.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 5.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Etapa 5.5

Divida $3.14159265$ por $3$ .

$1 = 1.04719755$

Etapa 5.6

Como $1 \neq 1.04719755$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 5.7

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Etapa 5.8

Resolva $C$ .

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Etapa 5.8.1

Simplifique $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

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Etapa 5.8.1.1

Divida $3.14159265$ por $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Etapa 5.8.1.2

Some $3.14159265$ e $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Etapa 5.8.2

Como $1 \neq 4.1887902$ , não há soluções.

$Nenhuma solução$