Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $\frac{1}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Subtraia $\frac{y}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{y}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Some $\frac{1}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{- y + 1}$ por $\frac{- y + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $- y + 1$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = - y + 1$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| - y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - y + 1 |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | - y + 1 |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- y + 1 = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ como $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{\frac{1}{x} + C}$ como $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Etapa 4.3

Reordene $e^{\frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$