Cálculo Exemplos

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ por $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Depois, $d u = (- 6 x + 5) d x$ , então, $- d u = (6 x - 5) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Some $- 6 x + 5$ e $0$ .

$- 6 x + 5$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$