Cálculo Exemplos

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot d y = 2 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y^{3} + y$ . Depois, $d u = (3 y^{2} + 1) d y$ , então, $\frac{1}{3 y^{2} + 1} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y^{3} + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y^{3} + y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} + 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{3} + y$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y^{3} + y |) = x^{2} + C$