Cálculo Exemplos

$y^{2} \frac{d y}{d t} = \sin (2 t)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \sin (2 t) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \sin (2 t) d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (2 t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (2 t)}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\cos (2 t)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{\cos (2 t)}{2} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} = - \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4

Fatore $3$ de $- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $- \frac{3 \cos (2 t)}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $3$ de $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)}$