Cálculo Exemplos

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Mova $4$ para a esquerda de $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Etapa 2.1.2

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Etapa 2.1.3

Divida cada termo em $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ por $4 x y$ e simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Divida cada termo em $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ por $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.1.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Para escrever $\frac{3}{4 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{3}{4 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Etapa 2.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.4

Multiplique os dois lados por $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum de $4 y$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $4 y$ de $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1 + 3 y$ .

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Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 2.6

Reescreva a equação.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.2

Reordene $1$ e $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.3

Divida $y$ por $3 y + 1$ .

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Etapa 3.2.3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 3.2.3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Etapa 3.2.3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + \frac{1}{3}$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Etapa 3.2.3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Etapa 3.2.3.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.5

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.9

Deixe $u = 3 y + 1$ . Depois, $d u = 3 d y$ , então, $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.2.9.1

Deixe $u = 3 y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 3.2.9.1.1

Diferencie $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Etapa 3.2.9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.9.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Etapa 3.2.9.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.9.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.9.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.2.9.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 3.2.9.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 3.2.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.10

Simplifique.

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Etapa 3.2.10.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.10.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.11

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.12

Simplifique.

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Etapa 3.2.12.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.14

Simplifique.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$