Cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - x$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = - x$

Etapa 1.1.2

Multiplique os dois lados por $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x (1 + y)$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique $- x (1 + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x \cdot 1 - x y$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x - x y$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Reordene $- x$ e $- x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ por $\sqrt{1 + x^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ por $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.2

Multiplique $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.1

Multiplique $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.3.6.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.5

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.6.6.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1

Fatore $x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1.1

Fatore $x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $- x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.2.1.2

Fatore $x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.2.1.3

Fatore $x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 1)}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 1)}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1)}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (1))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.4.1

Reescreva $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 1)}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y + 1}$ para o numerador.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $y + 1$ de $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Multiplique $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1.1

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.3.1

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.3.7.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ como $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$