Cálculo Exemplos

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ por ${(y \ln (x))}^{- 1}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ por ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Mova ${(y \ln (x))}^{- 1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2} (y \ln (x))$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Combine $y$ e $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x)$

Etapa 1.1.3.3.2

Combine $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{{(y + 1)}^{2}}{y}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x))$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Combine $\frac{y}{{(y + 1)}^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x))$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Combine.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Cancele o fator comum de ${(y + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Etapa 1.4.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Etapa 1.4.5.2

Divida $x^{2} \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} \ln (x)$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva ${(y + 1)}^{2}$ como $(y + 1) (y + 1)$ .

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.5

Reordene $y$ e $1$ .

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.9.1

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.9.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.9.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.9.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.10

Some $y$ e $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.11

Divida $y^{2} + 2 y + 1$ por $y$ .

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Etapa 2.2.11.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Etapa 2.2.11.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

Etapa 2.2.11.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Etapa 2.2.11.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Etapa 2.2.11.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

Etapa 2.2.11.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Etapa 2.2.11.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Etapa 2.2.11.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

Etapa 2.2.11.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 y + 0$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

Etapa 2.2.11.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Etapa 2.2.11.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.12

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.14

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.15

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.2.16

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Etapa 2.3.4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Etapa 2.3.4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$ como $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.6.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.6.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.6.3

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{5}$

Etapa 2.3.6.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$