Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{2}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{2}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{2}$ com relação a $x$ .

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Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Etapa 6

Substitua $2 v v'$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{2}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Divida cada termo em $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ e simplifique.

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Etapa 7.1.1.1

Divida cada termo em $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.2.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $v^{2}$ e $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.3.1

Fatore $v$ de $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.3.2.1

Fatore $v$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Multiplique $\frac{v}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1.1.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.1.1.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.1.2

Simplifique.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 7.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

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Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Etapa 7.2.2

Integre $\frac{1}{2 x}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 7.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{2 x}$ e $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.2

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.4

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.2.4.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.4.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.4.5

Some $- 1$ e $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.3

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.7.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.7.3.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.7.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.7.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 7.7.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.7.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.7.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.7.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.8

Divida cada termo em $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.8.1

Divida cada termo em $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.2.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.2

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.2.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.2.4

Some $- 1$ e $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.3

Simplifique $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.8.3.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8

Substitua $y^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$