Cálculo Exemplos

$y d x + x^{3} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $y d x$ dos dois lados da equação.

$x^{3} d y = - y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{3} y}$ .

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{x^{3} (y)} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3} y} y d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{3} y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3} y} y d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3}} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{- 3} d x$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.3.4.1

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Etapa 4.3.4.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 x^{2}}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C} = | y |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Etapa 5.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ como $e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$

Etapa 6.2

Reordene $e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$