Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x + y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x + y}$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d y}$ ao diferenciar $e^{x + y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

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Etapa 4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Etapa 4.2

Some $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ e $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d y}$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Etapa 5.1.2

Simplifique.

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Etapa 5.1.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 5.1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Etapa 5.1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Etapa 5.1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.2.2.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Etapa 6

Integre os dois lados.

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Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1.1

Mova $v^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Etapa 6.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $v^{- 2}$ com relação a $v$ é $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Etapa 6.2.3

Reescreva $- v^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Etapa 7

Resolva $v$ .

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Etapa 7.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$v, 1, 1$

Etapa 7.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$v$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{v} = y + K$ por $v$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{v} = y + K$ por $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Etapa 7.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = y v + K v$

Etapa 7.3

Resolva a equação.

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Etapa 7.3.1

Reescreva a equação como $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Etapa 7.3.2

Fatore $v$ de $y v + K v$ .

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Etapa 7.3.2.1

Fatore $v$ de $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Etapa 7.3.2.2

Fatore $v$ de $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Etapa 7.3.2.3

Fatore $v$ de $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Etapa 7.3.3

Divida cada termo em $v (y + K) = - 1$ por $y + K$ e simplifique.

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Etapa 7.3.3.1

Divida cada termo em $v (y + K) = - 1$ por $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Etapa 7.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + K$ .

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Etapa 7.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Etapa 7.3.3.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Etapa 7.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Etapa 9.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Expanda $\ln (e^{x + y})$ movendo $x + y$ para fora do logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Etapa 9.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Etapa 9.2.3

Multiplique $x + y$ por $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Etapa 9.3

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$