Cálculo Exemplos

$x d y - (x^{2} y^{2} + y) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x^{2} y^{2} + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} y^{2} + y)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x^{2} y^{2} + y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.4

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2} y^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \cdot x^{2} y + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y + 1)$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x^{2} y - 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 x^{2} y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $- 2 x^{2} y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $M$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) + 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $2$ de $2 x^{2} y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2.5.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 (1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2} y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y$ de $x^{2} y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $y$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y)}$

Etapa 5.3.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y^{1})}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y \cdot 1)}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $y$ de $y (x^{2} y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y + 1))}$

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $x^{2} y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{- y}$

Etapa 5.3.5

Substitua $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 6.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- (x^{2} y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (x^{2} y^{2}) - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- x^{2} y^{2} - y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.4

Fatore $y$ de $- x^{2} y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Fatore $y$ de $- x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.4.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{y (- x^{2} y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.4.3

Fatore $y$ de $y (- x^{2} y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- x^{2} y$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1 (1)}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} y) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.9

Reescreva $- (x^{2} y + 1)$ como $- 1 (x^{2} y + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.11

Multiplique $x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7.12

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 9.2

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 9.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Etapa 9.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Etapa 9.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Reescreva $x (- y^{- 1} + C)$ como $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Etapa 9.5.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x}{y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Como $- \frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{x^{2} y + 1}{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} + \frac{x^{2} y + 1}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 + x^{2} y + 1}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Combine os termos opostos em $- 1 + x^{2} y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y + 0}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Some $x^{2} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x^{2} d x$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 14.5

Reescreva $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 16

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{x^{3}}{3} + C$