Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 2 y^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 2 y^{3}$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 2 y^{3}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.6.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.2.1

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6.2.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 5.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.14

Mova $v^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.15

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Etapa 5.16

Combine $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Etapa 5.17

Reescreva $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Etapa 5.18

Multiplique $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Etapa 5.19

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.21

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 5.23

Some $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 2 y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Simplifique $- \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Combine $v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Mova $2$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 \cdot v}{x} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot - 2 = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9

Multiplique $- \frac{2 v}{x} \cdot - 2$ .

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Etapa 7.1.1.2.1.9.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 \frac{2 v}{x} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9.2

Combine $2$ e $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (2 v)}{x} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3.1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{- 3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{- \frac{3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3.2

Multiplique $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}}) (- 1 \cdot (2))$

Etapa 7.1.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 7.1.1.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{3 - 3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 7.1.1.3.2.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{0}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 7.1.1.3.2.5

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{0} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 7.1.1.3.3

Simplifique $2 v^{0} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 (- 1 \cdot (2))$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot (2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 \cdot - 2$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = - 4$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $\frac{4 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{4}{x} = - 4$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $\frac{4}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4}{x} v = - 4$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{4}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

Integre $\frac{4}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 \ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{4})}$

Etapa 7.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{4}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} v) = x^{4} \cdot - 4$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{4}{x}$ e $v$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x^{4} \frac{4 v}{x} = x^{4} \cdot - 4$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 v}{x} = x^{4} \cdot - 4$

Etapa 7.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 v}{x} = x^{4} \cdot - 4$

Etapa 7.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x^{3} (4 v) = x^{4} \cdot - 4$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} \frac{d v}{d x} + 4 x^{3} v = x^{4} \cdot - 4$

Etapa 7.3.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + 4 x^{3} v = - 4 x^{4}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{4} v] = - 4 x^{4}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} v] d x = \int - 4 x^{4} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$x^{4} v = \int - 4 x^{4} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$x^{4} v = - 4 \int x^{4} d x$

Etapa 7.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} v = - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.1

Reescreva $- 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ como $- 4 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{4} v = - 4 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{4} v = \frac{- 4}{5} x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{4} v = - \frac{4}{5} x^{5} + C$

Etapa 7.8

Divida cada termo em $x^{4} v = - \frac{4}{5} x^{5} + C$ por $x^{4}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Divida cada termo em $x^{4} v = - \frac{4}{5} x^{5} + C$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} v}{x^{4}} = \frac{- \frac{4}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} v}{x^{4}} = \frac{- \frac{4}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{4}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1.1

Fatore $x^{4}$ de $- \frac{4}{5} x^{5}$ .

$v = \frac{x^{4} (- \frac{4}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$v = \frac{x^{4} (- \frac{4}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x^{4} (- \frac{4}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$v = \frac{- \frac{4}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.4

Divida $- \frac{4}{5} x$ por $1$ .

$v = - \frac{4}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3.1.2

Combine $x$ e $\frac{4}{5}$ .

$v = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 7.8.3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$v = - \frac{4 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = - \frac{4 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$