Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(2 + y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore ${(2 + y)}^{2}$ de $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 2 + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 2 + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.4

Reescreva $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.3

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 + y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$2 + y, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 + y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ por $2 + y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 + y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Etapa 3.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Etapa 3.2.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Etapa 3.2.3.2

Reordene os fatores em $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ .

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2 \tan (x)$ dos dois lados da equação.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2 K$ dos dois lados da equação.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $y \tan (x) + K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $y \tan (x)$ .

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $y$ de $y (\tan (x)) + y K$ .

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ por $\tan (x) + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ por $\tan (x) + K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $\tan (x) + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- 1 - 2 \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1.3.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ como $- (1 + 2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.3.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $π$ por $x$ e $- 5$ por $y$ em $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ .

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ .

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Etapa 6.2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Etapa 6.2.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Etapa 6.2.3

Multiplique $2 (- 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Etapa 6.2.4

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Etapa 6.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Etapa 6.2.6

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Etapa 6.2.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Etapa 6.2.8

Some $0$ e $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$K, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$K$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ por $K$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ por $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 + K}{K}$ para o numerador.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Etapa 6.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Etapa 6.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- (1 + K) = - 5 K$

Etapa 6.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Etapa 6.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Mova todos os termos que contêm $K$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Some $5 K$ aos dois lados da equação.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Etapa 6.5.1.2

Some $- K$ e $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Etapa 6.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 K = 1$

Etapa 6.5.3

Divida cada termo em $4 K = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Divida cada termo em $4 K = 1$ por $4$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.5.3.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Etapa 7

Substitua $\frac{1}{4}$ por $K$ em $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\frac{1}{4}$ por $K$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Etapa 7.2

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Etapa 7.2.2

Combine.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Etapa 7.4.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Etapa 7.5.3

Some $4$ e $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Etapa 7.6

Fatore $4$ de $4 \tan (x) + 4 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Fatore $4$ de $4 \tan (x)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Etapa 7.6.2

Fatore $4$ de $4 K$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Etapa 7.6.3

Fatore $4$ de $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$