Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(x^{2} + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

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Etapa 4.3.6.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 4.3.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 4.3.6.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Etapa 5.4

Simplifique $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $3$ de $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $3$ de $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $3$ de $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Etapa 5.4.1.4

Fatore $3$ de $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Etapa 5.4.2

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.1

Combine $- x$ e $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Etapa 5.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Etapa 5.4.4.2

Reescreva $x \cdot x$ como $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Etapa 5.4.4.3

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Etapa 5.4.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Etapa 5.4.5

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Etapa 5.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.7.1

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.4.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.4.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.7.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.7.2.1.5.1

Mova $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Etapa 5.4.7.2.3

Some $1$ e $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Etapa 5.4.8

Combine $3$ e $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Etapa 5.4.9

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 5.4.10

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.4.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.4.11.2

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.4.11.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.4.11.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 5.4.11.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 5.4.11.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.4.11.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.4.11.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.4.11.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.11.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.4.11.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Etapa 5.4.11.5.5

Simplifique.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Etapa 5.4.12

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Etapa 5.4.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Etapa 5.4.14

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$