Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 e^{x})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 e^{x})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} e^{x}$

Etapa 2.4

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 (e^{x} e^{- x})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{x - x}$

Etapa 2.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{0}$

Etapa 2.5

Simplifique $2 e^{0}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2$

Etapa 2.6

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} y = \int 2 d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$e^{- x} y = 2 x + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- x} y = 2 x + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- x} y = 2 x + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$