Cálculo Exemplos

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $x (y - 1) d x$ dos dois lados da equação.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x - 1$ de $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{y - 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ para o numerador.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y - 1$ de $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y - 1$ de $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Etapa 3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 1}{x - 1}$ e $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida $y$ por $y - 1$ .

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Etapa 4.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 4.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Etapa 4.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y - 1$ .

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Etapa 4.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Etapa 4.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2.4

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.4.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4.2.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4.2.4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2.5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2.6

Simplifique.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

Etapa 4.3.2

Divida $x$ por $x - 1$ .

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Etapa 4.3.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 4.3.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Etapa 4.3.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Etapa 4.3.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.5

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Etapa 4.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

Etapa 4.3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$