Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = y \ln (\frac{y}{x})$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y \ln (\frac{y}{x})$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y \ln (\frac{y}{x})$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Etapa 1.2.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Reordene os fatores em $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.2

Fatore.

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Etapa 6.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $V$ de $V \ln (V) - V$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $V$ de $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Etapa 6.1.2.2.2

Fatore $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Etapa 6.1.2.2.3

Fatore $V$ de $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $V (\ln (V) - 1)$ .

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Etapa 6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Deixe $u_{1} = \ln (V)$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , então, $V d u_{1} = d V$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u_{1} = \ln (V)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1.1

Diferencie $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Etapa 6.2.2.1.1.2

A derivada de $\ln (V)$ em relação a $V$ é $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u_{2} = u_{1} - 1$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u_{2} = u_{1} - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} - 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- 1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 6.2.2.4.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 6.3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Etapa 6.3.3

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Etapa 6.3.4

Reescreva $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Etapa 6.3.5

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Etapa 6.3.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 6.3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 6.3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 6.3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Etapa 6.3.5.4

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Etapa 6.3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Etapa 6.3.5.4.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Etapa 6.3.5.4.4

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Etapa 6.3.5.4.5

Reescreva $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Etapa 6.3.5.4.6

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.4.6.1

Reescreva a equação como $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Etapa 6.3.5.4.6.2

Reordene os fatores em $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Etapa 6.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = e^{C | x | + 1}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$