Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} + x = 2 y$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , em que $P (y) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d y}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{y + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{y}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{y}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = e^{y} (2 y)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + x e^{y} = 2 y e^{y}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] = 2 y e^{y}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [e^{y} x] d y = \int 2 y e^{y} d y$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{y} x = \int 2 y e^{y} d y$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{y} x = 2 \int y e^{y} d y$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y)$

Etapa 6.3

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - (e^{y} + C))$

Etapa 6.4

Simplifique.

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ por $e^{y}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ por $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y}) + C}{e^{y}}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 (y e^{y}) + 2 (- e^{y}) + C}{e^{y}}$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{2 y e^{y} - 2 e^{y} + C}{e^{y}}$