Cálculo Exemplos

$(x + 1) d x + (y - 3) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(x + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$(y - 3) d y = - (x + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int - (x + 1) d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - (x + 1) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 \cdot 1 d x$

Etapa 2.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 d x$

Etapa 2.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Etapa 3.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{x^{2}}{2} - x + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Some $\frac{x^{2}}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} = - x + K$

Etapa 3.3.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x = K$

Etapa 3.3.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $- 6 y$ .

$y^{2} + x^{2} + 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Etapa 3.4.4

Mova $2 x$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Etapa 3.4.5

Reordene $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = x^{2} - 2 K + 2 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.7.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Fatore $4$ de $36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x$ .

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Etapa 3.7.1.5.1

Fatore $4$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.2

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.3

Fatore $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.4

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.5

Fatore $4$ de $4 (9) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.6

Fatore $4$ de $4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.7

Fatore $4$ de $4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Reescreva $4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)$ como $2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)$ .

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Etapa 3.7.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$