Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 6 x^{5} \cdot y = 12 x^{5}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 6 x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 6 x^{5} d x}$

Etapa 1.2

Integre $6 x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{6 \int x^{5} d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{6 (\frac{1}{6} x^{6} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ como $6 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$e^{6 (\frac{1}{6}) x^{6} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{6}$ .

$e^{\frac{6}{6} x^{6} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{6}{6} x^{6} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{6} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{6}$ por $1$ .

$e^{x^{6} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{6}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{6}}$ .

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{6}} (6 x^{5} \cdot y) = e^{x^{6}} (12 x^{5})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{x^{6}} (x^{5} y) = e^{x^{6}} (12 x^{5})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{x^{6}} (x^{5} y) = 12 e^{x^{6}} x^{5}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{x^{6}} (x^{5} y) = 12 e^{x^{6}} x^{5}$ .

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 x^{5} y e^{x^{6}} = 12 x^{5} e^{x^{6}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{6}} y] = 12 x^{5} e^{x^{6}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{6}} y] d x = \int 12 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{6}} y = \int 12 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$e^{x^{6}} y = 12 \int x^{5} e^{x^{6}} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.2.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.3.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ e $e^{{u_{1}}^{3}}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x^{6}} y = 12 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Etapa 6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $12$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{12}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{2 \cdot 6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{6}} y = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{6}} y = \frac{6}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.5.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$e^{x^{6}} y = 6 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6.6

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Depois, $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Etapa 6.6.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Etapa 6.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{6}} y = 6 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 6.7

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{x^{6}} y = 6 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 6.8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{x^{6}} y = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 6.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{6}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.9.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{6}} y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{6}} y = \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.9.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$e^{x^{6}} y = 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.10

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{6}} y = 2 (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 6.11

Simplifique.

$e^{x^{6}} y = 2 e^{u_{2}} + C$

Etapa 6.12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{3}$ .

$e^{x^{6}} y = 2 e^{{u_{1}}^{3}} + C$

Etapa 6.12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{6}} y = 2 e^{{(x^{2})}^{3}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{6}} y = 2 e^{{(x^{2})}^{3}} + C$ por $e^{x^{6}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{6}} y = 2 e^{{(x^{2})}^{3}} + C$ por $e^{x^{6}}$ .

$\frac{e^{x^{6}} y}{e^{x^{6}}} = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3}}}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{6}} y}{e^{x^{6}}} = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3}}}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3}}}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{{(x^{2})}^{3}}$ e $e^{x^{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{x^{6}}$ de $2 e^{{(x^{2})}^{3}}$ .

$y = \frac{e^{x^{6}} (2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}})}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{x^{6}} (2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}})}{e^{x^{6}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{x^{6}} (2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}})}{e^{x^{6}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}}$ por $1$ .

$y = 2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 e^{x^{2 \cdot 3} - x^{6}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = 2 e^{x^{6} - x^{6}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $x^{6}$ de $x^{6}$ .

$y = 2 e^{0} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Etapa 7.3.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = 2 + \frac{C}{e^{x^{6}}}$