Cálculo Exemplos

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 4$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $(x - 2) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = y$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - 2) y' + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 2) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 2) y' + y (1 + 0)$

Etapa 1.6

Some $1$ e $0$ .

$(x - 2) y' + y \cdot 1$

Etapa 1.7

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.8

Reordene $y$ e $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) y] = x^{2} - 4$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 2) y] d x = \int x^{2} - 4 d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$(x - 2) y = \int x^{2} - 4 d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$(x - 2) y = \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C$

Etapa 5.4

Simplifique.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ por $x - 2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ por $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.2

Para escrever $- \frac{4 x}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $\frac{4 x}{x - 2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.3.2

Reordene os fatores de $(x - 2) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{3} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.5.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 4 x \cdot 3$ .

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Etapa 6.3.5.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.5.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.5.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.5.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 6.3.6

Para escrever $\frac{C}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.7.1

Multiplique $\frac{C}{x - 2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3}$

Etapa 6.3.7.2

Reordene os fatores de $(x - 2) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x (x^{2} - 12) + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.9.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.9.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.3.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.9.2.2

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.9.3

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3.9.4

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 x + 3 C}{3 (x - 2)}$