Cálculo Exemplos

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.5

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

Etapa 1.6

Some $3 y^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $3 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $3 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.3

Some $3 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $6 y^{2} - 2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.5.4

Fatore $2$ de $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.2.5.5

Fatore $2$ de $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $x$ de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Etapa 4.3.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Etapa 4.3.3.5

Fatore $x$ de $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $3 y^{2} - x + 1$ e $x - 3 y^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (- 3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4.5

Fatore $- 1$ de $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4.6

Reescreva $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ como $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Etapa 4.3.4.7

Reordene os termos.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Etapa 4.3.4.8

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Etapa 4.3.4.9

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y^{3} + y + 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{3} + y + 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $x$ de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5.5

Fatore $x$ de $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $y^{3} + y + 1$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{3} + y + 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8.2

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 8.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

Etapa 8.5

Reescreva $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ como $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $- \frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ em relação a $y$ é $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.3.5

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.3.6

Some $3 y^{2} + 1$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5.2.3

Combine $\frac{- 3}{x}$ e $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Simplifique.

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Etapa 12.1.1.3.2.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Some $- 3 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- 1 - x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.4.4

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Etapa 12.1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $1$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Etapa 13.3

Aplique a regra da constante.

$g (y) = y + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

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Etapa 15.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Etapa 15.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Etapa 15.2.3

Multiplique $- \frac{1}{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Etapa 15.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.3.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Etapa 15.3.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$