Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

Etapa 5.3

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Simplifique.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.5

Divida $\frac{1}{5} x^{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 6.3.1.3.1

Fatore $x$ de $- \frac{3}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.3.2.5

Divida $- \frac{3}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$