Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Etapa 7.4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Simplifique.

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Etapa 7.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Etapa 7.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Etapa 7.7

Reordene os termos.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Combine $\cos (x^{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$