Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 x \ln (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (x^{2} + 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{d y}{d x} + x (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) = 0$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d y}{d x} - x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 0$

Etapa 1.1.2

Some $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ como $x (2 \ln (x^{2} + 1))$ .

$y + C_{1} = \int x (2 \ln (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int x (\ln (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 2.3.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x^{2} + 1)$ e $d v = x$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.4.2

Combine $\ln (x^{2} + 1)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2} (2 x)}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.4.5.1

Mova $x$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.4.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1 + 2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.5.3

Some $1$ e $2$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 \cdot x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.7.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 2.3.4.7.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.5

Divida $x^{3}$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 2.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 + x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 2.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 2.3.5.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Etapa 2.3.5.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.6

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x))$

Etapa 2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Etapa 2.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Etapa 2.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Etapa 2.3.11

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.11.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.11.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.11.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.11.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u))$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

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Etapa 2.3.12.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u))$

Etapa 2.3.12.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{2 u} d u))$

Etapa 2.3.13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)))$

Etapa 2.3.14

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{3})))$

Etapa 2.3.15

Simplifique.

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Etapa 2.3.15.1

Simplifique.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.17

Simplifique.

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Etapa 2.3.17.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = 2 \frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.17.2

Reordene os fatores em $\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.17.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.17.3.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.17.3.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Etapa 2.3.18

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$