Cálculo Exemplos

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

Etapa 1

Deixe $v = y^{2}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $y^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

Etapa 4

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Subtraia $2 v$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

Etapa 4.1.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

Etapa 4.6

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

Etapa 5

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 4$ .

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Etapa 5.1

Determine a integração.

$e^{\int - 4 d x}$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 4 x + C}$

Etapa 5.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 4 x}$

Etapa 6

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo por $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Etapa 6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Etapa 6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

Etapa 6.4

Reordene os fatores em $e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

Etapa 7

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

Etapa 8

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Etapa 9

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Etapa 10

Integre o lado direito.

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Etapa 10.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

Etapa 10.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 10.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 10.3.3

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 10.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 10.5

Simplifique.

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Etapa 10.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 10.5.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ por $1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 10.6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Etapa 10.7

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.7.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.7.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 10.7.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 10.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 10.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Etapa 10.8

Simplifique.

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Etapa 10.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Etapa 10.8.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 10.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Etapa 10.10

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Etapa 10.11

Simplifique.

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Etapa 10.11.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Etapa 10.11.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Etapa 10.12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Etapa 10.13

Simplifique.

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Etapa 10.13.1

Reescreva $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 10.13.2

Simplifique.

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Etapa 10.13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 10.13.2.2

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 10.13.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Etapa 10.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 10.15

Simplifique.

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Etapa 10.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 10.15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.15.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ para o numerador.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 10.15.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 10.15.2.3

Cancele o fator comum.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 10.15.2.4

Reescreva a expressão.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 10.15.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.15.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ para o numerador.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

Etapa 10.15.3.2

Fatore $2$ de $16$ .

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

Etapa 10.15.3.3

Cancele o fator comum.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Etapa 10.15.3.4

Reescreva a expressão.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Etapa 10.15.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.15.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Etapa 10.15.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Etapa 10.15.5

Reordene os fatores em $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Etapa 10.16

Reordene os termos.

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Etapa 11

Resolva $v$ .

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Etapa 11.1

Simplifique.

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Etapa 11.1.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Etapa 11.1.2

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Etapa 11.1.3

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Etapa 11.2

Divida cada termo em $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ por $e^{- 4 x}$ e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Divida cada termo em $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ por $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 11.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ por $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 11.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.5

Multiplique $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ por $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.6

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 11.2.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 11.2.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $y^{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 13

Resolva $y$ .

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Etapa 13.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ .

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Etapa 13.2.1

Para escrever $- \frac{x}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.2.2.1

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.5

Para escrever $\frac{- 4 x - 1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.6

Para escrever $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Etapa 13.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8 e^{- 4 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.2.7.1

Multiplique $\frac{- 4 x - 1}{8}$ por $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Etapa 13.2.7.2

Multiplique $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ por $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

Etapa 13.2.7.3

Reordene os fatores de $e^{- 4 x} \cdot 8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.9.2

Reescreva $- 1 e^{- 4 x}$ como $- e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.9.3

Mova $8$ para a esquerda de $C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.10

Reescreva $\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ como ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ .

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Etapa 13.2.10.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

Etapa 13.2.10.2

Fatore a potência perfeita ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ de $8 e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.2.10.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Etapa 13.2.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Etapa 13.2.12

Reescreva $\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ como $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

Etapa 13.2.13

Combine.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Etapa 13.2.14

Multiplique $\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Etapa 13.2.15

Multiplique $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 13.2.16

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 13.2.16.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 13.2.16.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 13.2.16.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 13.2.16.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 13.2.16.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 13.2.16.6

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 13.2.16.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 13.2.16.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13.2.16.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.2.16.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.2.16.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.16.7.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.2.16.7.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

Etapa 13.2.16.7.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Etapa 13.2.17

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Etapa 13.2.18

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.2.18.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 13.2.18.2

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 13.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 13.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 13.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 14

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$