Cálculo Exemplos

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $y d y$ dos dois lados da equação.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Etapa 2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x e^{x^{2} + y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x^{2} + y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 2.4.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 2.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Etapa 2.4.5

Multiplique $e^{x^{2} + y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - y$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x e^{x^{2} + y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $x e^{x^{2} + y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $x e^{x^{2} + y}$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x e^{x^{2} + y}$ por $M$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $x e^{x^{2} + y}$ de $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Etapa 5.3.4

Substitua $x e^{x^{2} + y}$ por $M$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - 1 d y}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Etapa 6.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ pelo fator de integração $e^{- y}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $x e^{x^{2} + y}$ por $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $e^{x^{2} + y}$ por $e^{- y}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Etapa 7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Etapa 7.2.3

Combine os termos opostos em $- y + x^{2} + y$ .

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Etapa 7.2.3.1

Some $- y$ e $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Etapa 7.2.3.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- y$ por $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 9.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 9.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9.1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 9.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 9.1.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 9.1.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 9.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 9.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Etapa 12.3

Como $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Etapa 12.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- y e^{- y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Etapa 13.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Etapa 13.6

Simplifique.

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Etapa 13.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Etapa 13.6.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Etapa 13.7

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.7.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 13.7.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 13.7.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 13.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 13.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 13.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 13.8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 13.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Etapa 13.10

Reescreva $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ como $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Etapa 13.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Etapa 13.12

Simplifique.

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Etapa 13.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Etapa 13.12.2

Multiplique $- (- y e^{- y})$ .

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Etapa 13.12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Etapa 13.12.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Etapa 13.12.3

Multiplique $- - e^{- y}$ .

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Etapa 13.12.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Etapa 13.12.3.2

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$