Cálculo Exemplos

$(x - 2) \frac{d y}{d x} = y + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$(x - 2) \frac{d y}{d x} - y = 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $(x - 2) \frac{d y}{d x} - y = 2 {(x - 2)}^{3}$ por $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) \frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{3}$ e $x - 2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $x - 2$ de $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{(x - 2) \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{(x - 2) \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{1}$

Etapa 1.4.2.4

Divida $2 {(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = 2 {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{- y}{x - 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 2} = 2 {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{- 1}{x - 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 2} y = 2 {(x - 2)}^{2}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 1}{x - 2}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 2} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 1}{x - 2}$ .

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Etapa 2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - \frac{1}{x - 2} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x - 2} d x}$

Etapa 2.2.3

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 2.2.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$e^{- \ln (| x - 2 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x - 2)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{- 1})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(x - 2)}^{- 1}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x - 2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 2} (\frac{- 1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x - 2}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} (\frac{- 1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} (- \frac{1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} (\frac{1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{x - 2}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{y}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{y}{x - 2}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{y}{x - 2}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{(x - 2) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.5.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.5.3

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(x - 2)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{(x - 2) (x - 2)} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.4.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.4.3

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2) - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 \frac{1}{x - 2} {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.8

Combine $2$ e $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 3.9.1

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x - 2))$

Etapa 3.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x - 2))$

Etapa 3.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 (x - 2)$

Etapa 3.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 3.11

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$

Etapa 3.12

Reordene os fatores em $\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2} y] = 2 x - 4$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2} y] d x = \int 2 x - 4 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x - 2} y = \int 2 x - 4 d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{x - 2} y = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x - 2} y = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Etapa 7.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Etapa 7.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{x - 2} y = x^{2} - 4 x + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x - 2}$ e $y$ .

$\frac{y}{x - 2} = x^{2} - 4 x + C$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x - 2$ .

$\frac{y}{x - 2} (x - 2) = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x - 2} (x - 2) = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Expanda $(x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1.2.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.2.1.2.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 8.3.2.1.2.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.2.1.2.1.3.1

Mova $x$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + C x + C \cdot - 2$

Etapa 8.3.2.1.2.1.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $C$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + C x - 2 C$

Etapa 8.3.2.1.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 8.3.2.1.2.2.1

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + C x - 2 C$

Etapa 8.3.2.1.2.2.2

Reordene.

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Etapa 8.3.2.1.2.2.2.1

Mova $8 x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + C x - 2 C + 8 x$

Etapa 8.3.2.1.2.2.2.2

Mova $- 6 x^{2}$ .

$y = x^{3} + C x - 6 x^{2} - 2 C + 8 x$