Cálculo Exemplos

$x d y = (x + y) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(x + y) d x$ dos dois lados da equação.

$x d y - (x + y) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- (x + y) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x + y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x + y)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x + y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 1 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x$ por $N$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (x + y) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- (x + y)$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- (x + y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x - y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- x - y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- x - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- (x) - (y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.7

Reescreva $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.10

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.10.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 7.10.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 7.10.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{1}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y}{x} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.5.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 12.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{x + y}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} + \frac{x + y}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + x + y}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Combine os termos opostos em $- y + x + y$ .

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Etapa 13.1.1.3.1

Some $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x + 0}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 13.1.1.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{1}}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1.1.4.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} = 0$

Etapa 13.1.1.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} = 0$

Etapa 13.1.1.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Etapa 14.5

Simplifique.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} - \ln (| x |) + C$