Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + (\sin (x)) y = e^{\cos (x)}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \sin (x) d x}$

Etapa 1.2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$e^{- \cos (x) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \cos (x)}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- \cos (x)}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- \cos (x)}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} ((\sin (x)) y) = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{- \cos (x)}$ por $e^{\cos (x)}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x) + \cos (x)}$

Etapa 2.3.2

Some $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{0}$

Etapa 2.4

Simplifique $e^{0}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$

Etapa 2.5

Reordene os fatores em $e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + y e^{- \cos (x)} \sin (x) = 1$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] = 1$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] d x = \int d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- \cos (x)} y = \int d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$e^{- \cos (x)} y = x + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- \cos (x)} y = x + C$ por $e^{- \cos (x)}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- \cos (x)} y = x + C$ por $e^{- \cos (x)}$ .

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- \cos (x)}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$