Cálculo Exemplos

$x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x (1 + y^{2}) d x$ dos dois lados da equação.

$y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $1 + x^{2}$ de $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ para o numerador.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.4.3

Fatore $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Etapa 3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\ln (| 1 + x^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Etapa 5.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | | 1 + x^{2} |) = 2 C$

Etapa 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (1 + y^{2}) (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 5.6

Expanda $(1 + y^{2}) (1 + x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 (1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\ln (| 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Etapa 5.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Etapa 5.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Etapa 5.9

Reescreva $\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Etapa 5.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Reescreva a equação como $| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Etapa 5.10.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Etapa 5.10.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1$

Etapa 5.10.3.2

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Etapa 5.10.4

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} + y^{2} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.4.1

Multiplique por $1$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Etapa 5.10.4.2

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Etapa 5.10.4.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2})$ .

$y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Etapa 5.10.5

Divida cada termo em $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ por $1 + x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.1

Divida cada termo em $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.2.1

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.5.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.5.3.2

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Etapa 5.10.7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 5.10.7.2

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 5.10.7.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.7.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 5.10.7.3.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 5.10.7.3.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Etapa 5.10.7.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.10.7.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.10.7.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.7.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.10.7.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.10.7.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.7.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.7.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.7.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 5.10.7.3.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.10.7.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$