Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante com relação a $x$ , mova $- 9$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Depois, $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , então, $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{9}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{9}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Etapa 2.3.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Combine $9$ e $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.3.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4.2

Divida $u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Etapa 4.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 2 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$K = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $K$ em $y = e^{- x^{9}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$