Cálculo Exemplos

$\frac{d v}{d t} = \frac{4}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d v = (\frac{4}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d v = \int \frac{4}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$v + C_{1} = \int \frac{4}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$v + C_{1} = \int \frac{4}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$v + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ com relação a $t$ é $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 4 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.5

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 4 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$v + C_{1} = 4 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$v = 4 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $2$ por $v$ em $v = 4 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$2 = 4 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $4 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ .

$4 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $4 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$4 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 2$

Etapa 4.2.1.1.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$0 + 0 + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + K = 2$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 2$

Etapa 5

Substitua $2$ por $K$ em $v = 4 \arctan (t) + \tan (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $2$ por $K$ .

$v = 4 \arctan (t) + \tan (t) + 2$