Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 e^{2 t} \sin (e^{2 t} - 16)$ , $y (\ln (4)) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 2 e^{2 t} \sin (e^{2 t} - 16) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 2 e^{2 t} \sin (e^{2 t} - 16) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 2 e^{2 t} \sin (e^{2 t} - 16) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int e^{2 t} \sin (e^{2 t} - 16) d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = e^{2 t} - 16$ . Depois, $d u_{2} = 2 e^{2 t} d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 t} d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = e^{2 t} - 16$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $e^{2 t} - 16$ .

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} - 16]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 t} - 16$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- 16]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 t}$ .

$2 e^{2 t} + \frac{d}{d t} [- 16]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 16$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 e^{2 t} + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $2 e^{2 t}$ e $0$ .

$2 e^{2 t}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.6

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{2 t} - 16$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{2 t} - 16) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \cos (e^{2 t} - 16) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\ln (4)$ por $t$ e $0$ por $y$ em $y = - \cos (e^{2 t} - 16) + K$ .

$0 = - \cos (e^{2 \ln (4)} - 16) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \cos (e^{2 \ln (4)} - 16) + K = 0$ .

$- \cos (e^{2 \ln (4)} - 16) + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (4)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \cos (e^{\ln (4^{2})} - 16) + K = 0$

Etapa 4.2.1.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$- \cos (4^{2} - 16) + K = 0$

Etapa 4.2.1.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \cos (16 - 16) + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + K = 0$

Etapa 4.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$K = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $K$ em $y = - \cos (e^{2 t} - 16) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $K$ .

$y = - \cos (e^{2 t} - 16) + 1$