Cálculo Exemplos

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{4 y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{4 y}$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{4 y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Etapa 2.4

Reordene os fatores de $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{4 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Etapa 5

Subtraia $3 v$ dos dois lados da equação.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Etapa 6

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 3$ .

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Etapa 6.1

Determine a integração.

$e^{\int - 3 d x}$

Etapa 6.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 3 x + C}$

Etapa 6.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 3 x}$

Etapa 7

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 3 x}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique cada termo por $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Etapa 7.4

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1

Mova $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Etapa 7.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Etapa 7.4.3

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Etapa 7.5

Simplifique $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Etapa 7.6

Reordene os fatores em $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Etapa 8

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Etapa 9

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Etapa 10

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Etapa 11

Integre o lado direito.

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Etapa 11.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 11.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 11.3.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Etapa 12

Divida cada termo em $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ por $e^{- 3 x}$ e simplifique.

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Etapa 12.1

Divida cada termo em $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ por $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 3 x}$ .

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Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 12.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 14

Resolva $y$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Etapa 14.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Expanda $\ln (e^{4 y})$ movendo $4 y$ para fora do logaritmo.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Etapa 14.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Etapa 14.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Etapa 14.3

Divida cada termo em $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 14.3.1

Divida cada termo em $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 14.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Etapa 14.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$