Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Depois, $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.2.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.2.1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1.4.4.1

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Etapa 2.3.2.1.4.4.2

Reordene os fatores de $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $u_{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.7.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{3}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ como $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.9.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.3.9.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.9.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$