Cálculo Exemplos

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $420 y d x$ dos dois lados da equação.

$69 x d y = - 420 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Etapa 3.2

Combine $69$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.5

Combine $- 420$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $69$ é constante com relação a $y$ , mova $69$ para fora da integral.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $420$ é constante com relação a $x$ , mova $420$ para fora da integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $420$ por $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $69 \ln (| y |)$ movendo $69$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique $420 \ln (| x |)$ movendo $420$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Etapa 5.2.1.1.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{420}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Etapa 5.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ por $x^{420}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ por $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{420}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida ${| y |}^{69}$ por $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Etapa 5.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reescreva $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ como ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

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Etapa 5.5.4.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{69}$ de $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Etapa 5.5.4.1.2

Fatore a potência perfeita ${(x^{6})}^{69}$ de $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Etapa 5.5.4.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Etapa 5.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Etapa 5.5.4.3

Reescreva $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ como $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Etapa 5.5.4.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.4.1

Combine.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Etapa 5.5.4.4.2

Multiplique $\sqrt[69]{e^{C}}$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Etapa 5.5.4.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Etapa 5.5.4.5.2

Reescreva $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ como $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Etapa 5.5.4.5.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Etapa 5.5.4.6

Multiplique $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Etapa 5.5.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Etapa 5.5.4.7.2

Mova $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Etapa 5.5.4.7.3

Eleve $\sqrt[23]{x^{2}}$ à potência de $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Etapa 5.5.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Etapa 5.5.4.7.5

Some $1$ e $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Etapa 5.5.4.7.6

Reescreva ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ como $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[23]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Etapa 5.5.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Etapa 5.5.4.7.6.3

Combine $\frac{2}{23}$ e $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.4

Multiplique $2$ por $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.5

Cancele o fator comum de $46$ e $23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.7.6.5.1

Fatore $23$ de $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.7.6.5.2.1

Fatore $23$ de $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.5.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Etapa 5.5.4.8

Multiplique $x^{6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.8.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Etapa 5.5.4.8.2

Some $6$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.9.1

Reescreva ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ como $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.2.2

Multiplique $2$ por $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.3

Fatore $x^{23}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.9.5.1

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $69$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.9.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[23]{x^{21}}$ como $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.5.1.2

Reescreva $x^{\frac{21}{23}}$ como $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.5.1.3

Reescreva $x^{\frac{63}{69}}$ como $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.9.5.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.10

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.10.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.10.1.1

Fatore $x$ de $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.4.10.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.10.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Etapa 5.5.4.10.1.2.2

Cancele o fator comum.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Etapa 5.5.4.10.1.2.3

Reescreva a expressão.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Etapa 5.5.4.10.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Etapa 5.5.5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$