Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 4.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.12

Mova $v^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14

Combine $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 4.16

Multiplique $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.17

Multiplique $v^{\frac{2}{3}}$ por $v^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.17.1

Mova $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 4.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 4.17.4

Some $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 6.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.1.2

Fatore $3 v^{\frac{4}{3}}$ de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.5

Simplifique $- \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.6

Combine $v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.7

Mova $2$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 \cdot v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot - 3 = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.9

Multiplique $- \frac{2 v}{x} \cdot - 3$ .

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Etapa 6.1.1.2.1.9.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 \frac{2 v}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.9.2

Combine $3$ e $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (2 v)}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.9.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - 3 \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.3

Multiplique $- 3 \frac{3}{x^{2}}$ .

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Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{- 3 \cdot 3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{- 9}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Etapa 6.1.1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.5.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Etapa 6.1.1.3.5.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.5.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6

Multiplique $v^{- \frac{4}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1.3.6.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 6.1.1.3.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{0}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6.5

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{0}$

Etapa 6.1.1.3.7

Simplifique $- \frac{9}{x^{2}} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 6.1.2

Fatore $v$ de $\frac{6 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{6}{x} = - \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 6.1.3

Reordene $v$ e $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v = - \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{6}{x}$ .

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Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{6}{x} d x}$

Etapa 6.2.2

Integre $\frac{6}{x}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{6 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{6 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique.

$e^{6 \ln (| x |) + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{6 \ln (x)}$

Etapa 6.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{6})}$

Etapa 6.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{6}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $x^{6}$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{6} (\frac{6}{x} v) = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Combine $\frac{6}{x}$ e $v$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{6} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{6}$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{5} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Etapa 6.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{5} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Etapa 6.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{5} (6 v) = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Etapa 6.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - x^{6} \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 6.3.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 6.3.4.1

Fatore $x^{2}$ de $- x^{6}$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{2} (- x^{4}) \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 6.3.4.2

Cancele o fator comum.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{2} (- x^{4}) \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 6.3.4.3

Reescreva a expressão.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - x^{4} \cdot 9$

Etapa 6.3.5

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - 9 x^{4}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{6} v] = - 9 x^{4}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{6} v] d x = \int - 9 x^{4} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$x^{6} v = \int - 9 x^{4} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Como $- 9$ é constante com relação a $x$ , mova $- 9$ para fora da integral.

$x^{6} v = - 9 \int x^{4} d x$

Etapa 6.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{6} v = - 9 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 6.7.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.3.1

Reescreva $- 9 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ como $- 9 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{6} v = - 9 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Etapa 6.7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.3.2.1

Combine $- 9$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{6} v = \frac{- 9}{5} x^{5} + C$

Etapa 6.7.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$ por $x^{6}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$ por $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} v}{x^{6}} = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{6} v}{x^{6}} = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1.1

Fatore $x^{5}$ de $- \frac{9}{5} x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1.2.1

Fatore $x^{5}$ de $x^{6}$ .

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{5} x} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{5} x} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$v = \frac{- \frac{9}{5}}{x} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = - \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{9}{5}$ .

$v = - \frac{9}{x \cdot 5} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 6.8.3.1.4

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$v = - \frac{9}{5 x} + \frac{C}{x^{6}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 3}$ por $v$ .

$y^{- 3} = - \frac{9}{5 x} + \frac{C}{x^{6}}$