Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Etapa 1

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 2.2

Integre $2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 7.4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 7.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Etapa 7.8.2

Multiplique $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Etapa 7.8.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Etapa 7.8.2.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Etapa 7.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Etapa 7.9

Reordene os termos.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $\frac{1}{2} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- \frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Etapa 8.3.2.1

Reordene $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.2.2

Para escrever $x^{2} \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $x^{2} \frac{1}{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.3.3

Reescreva $x^{2} - 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 8.3.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.4

Para escrever $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.5

Para escrever $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 e^{x^{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.6.1

Multiplique $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ por $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.3.6.2

Multiplique $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Etapa 8.3.6.3

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} \cdot 2$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.8.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.3.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 8.3.8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.8.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.4

Reescreva $- 1 e^{x^{2}}$ como $- e^{x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.8.5

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$