Cálculo Exemplos

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $x = e^{r y}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Etapa 2.5

Fatore $e^{r y}$ de $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Etapa 2.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $y r^{2} = y^{2} + 1$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $y r^{2} = y^{2} + 1$ por $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 3.1.3.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.3.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.3.1.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Etapa 3.1.3.1.2.5

Divida $y$ por $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

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Etapa 3.3.1

Para escrever $y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Etapa 3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $y$ por $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ como $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Etapa 3.3.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Etapa 3.3.6.2

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Etapa 3.3.6.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Etapa 3.3.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.6.5

Some $1$ e $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 3.3.6.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Etapa 3.3.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Etapa 3.3.6.6.5

Simplifique.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Etapa 3.3.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Etapa 3.3.8

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ para o numerador.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$