Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Depois, $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , então, $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \csc (θ)$ e $g (θ) = 7 θ$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Etapa 2.3.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $7 θ$ em relação a $θ$ é $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.1.3.4.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Etapa 2.3.1.1.3.4.2

Reordene os fatores de $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\frac{π}{4}$ por $θ$ e $3$ por $r$ em $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Combine $7$ e $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Etapa 4.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.4

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.5.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.5.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 4.2.1.5.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Etapa 4.2.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Etapa 4.2.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Etapa 4.2.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Etapa 4.2.1.7.5

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Etapa 4.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{14}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Etapa 4.2.1.8.2

Fatore $2$ de $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Etapa 4.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Etapa 4.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Etapa 4.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $\frac{1}{7}$ aos dois lados da equação.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Etapa 4.3.3

Combine $3$ e $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $3$ por $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Etapa 4.3.5.2

Some $21$ e $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Etapa 5

Substitua $\frac{22}{7}$ por $K$ em $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{22}{7}$ por $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Etapa 5.2

Combine $\csc^{2} (7 θ)$ e $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$