Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{2}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{2}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{2}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Etapa 6

Substitua $2 v v'$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{2}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Simplifique $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 7.1.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 7.1.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Etapa 7.1.1.1.2

Simplifique.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Etapa 7.1.1.2

Subtraia $x v^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Etapa 7.1.1.3

Divida cada termo em $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ por $2 v$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Divida cada termo em $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ por $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2.2.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.2.2

Divida $3 x$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $v^{2}$ e $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.3.1

Fatore $v$ de $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Fatore $v$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Etapa 7.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $x$ de $3 x - \frac{x v}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Etapa 7.1.2.1.2

Fatore $x$ de $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Etapa 7.1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Etapa 7.1.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Etapa 7.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Etapa 7.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Etapa 7.1.2.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Etapa 7.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Etapa 7.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Combine $x$ e $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Etapa 7.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Etapa 7.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Etapa 7.1.4.3

Cancele o fator comum de $6 - v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.3.1

Fatore $6 - v$ de $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Etapa 7.1.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Etapa 7.1.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Etapa 7.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Etapa 7.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Etapa 7.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $v$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Etapa 7.2.2.2

Deixe $u_{2} = 6 - v$ . Depois, $d u_{2} = - d v$ , então, $- d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Deixe $u_{2} = 6 - v$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Etapa 7.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Etapa 7.2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Etapa 7.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Etapa 7.2.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Etapa 7.2.2.7

Simplifique.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 7.2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 7.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 7.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Divida cada termo em $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 6 - v |)$ por $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3.1.3

Combine.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Etapa 7.3.1.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Etapa 7.3.2

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Etapa 7.3.3

Reescreva $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Etapa 7.3.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Reescreva a equação como $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Etapa 7.3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Etapa 7.3.4.3

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Etapa 7.3.4.4

Divida cada termo em $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.4.1

Divida cada termo em $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.3.4.4.2.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.3.4.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ como $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.3.4.4.3.1.3

Divida $- 6$ por $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Etapa 7.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Simplifique a constante de integração.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Etapa 7.4.2

Reescreva $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Etapa 7.4.3

Reordene $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ e $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Etapa 7.4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Etapa 8

Substitua $y^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$