Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\ln (5)$ é constante com relação a $x$ , mova $\ln (5)$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $5^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \arctan (x) + C_{3}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$y + C_{1} = 5^{x} + \arctan (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 5^{x} + \arctan (x) + K$