Cálculo Exemplos

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} y + 8 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3} y$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 y$ em relação a $y$ é $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Etapa 2.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $x^{3} + 8$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x^{3} + 8 = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $x^{3} + 8$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{3} y + 8 y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x^{3} y + 8 y$ por $M$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $- (- x^{3} - 8)$ de $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4

Reescreva $- x^{3} - 8$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Reescreva $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = - x$ e $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.4.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.2.4.4.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $x^{3} y + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Fatore $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Etapa 4.3.3.1.2

Fatore $y$ de $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Etapa 4.3.3.1.3

Fatore $y$ de $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Etapa 4.3.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Etapa 4.3.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Etapa 4.3.3.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $- x - 2$ e $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Etapa 4.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Etapa 4.3.5.4

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Etapa 4.3.5.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Etapa 4.3.5.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 4.3.6

Substitua $x^{3} y + 8 y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{3} y + 8 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{3} y + 8 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $x^{3} y + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3.1.2

Fatore $y$ de $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3.1.3

Fatore $y$ de $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.3.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Divida $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ por $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.5

Expanda $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.1.2

Some $1$ e $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Mova $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.4

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.6.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.7

Combine os termos opostos em $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Some $x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.7.3

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.7.4

Some $x^{3}$ e $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Etapa 6.8

Multiplique $y + 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.9

Multiplique $y + 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = x^{3} + 8$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Etapa 8.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Etapa 8.4

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11.3

Como $\frac{1}{4} x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11.4

Como $8 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 11.6.2

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{y + 1}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Etapa 12.3

Divida a fração em diversas frações.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.4

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.5.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.6

Aplique a regra da constante.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.7

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Etapa 12.8

Simplifique.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$