Cálculo Exemplos

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 2.3

Simplifique.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 3.2

Divida $x^{2} + 1$ por $x$ .

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Etapa 3.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 3.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 3.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Etapa 3.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Etapa 3.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Etapa 3.2.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Etapa 3.2.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 3.6.2

Simplifique.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Etapa 4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$