Cálculo Exemplos

$d x + e^{4 x} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $d x$ dos dois lados da equação.

$e^{4 x} d y = - d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$1 d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{e^{4 x}}$ e $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{4 x}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 d y = - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Negative o expoente de $e^{4 x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 4 x} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $e^{- 4 x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 4.3.3

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.3.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 4.3.3.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 4.3.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 4.3.4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

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Etapa 4.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 4.3.6.2

Multiplique $\int \frac{e^{u}}{4} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + K$